どーんとこい!中学入試の算数

第32回 わり切れない思いを数える問題

大人でもちょっと手こずってしまうような、難問奇問が続出する中学入試の算数。
でもだいじょうぶ、コツさえつかめば怖くありません!
学習サポートセンターのカズが、算数を楽しく学ぶ方法を伝授します。

7月24日と26日に、2020年度のオリンピックに向けて交通規制のテストがありました。ついに来年はオリンピック!と思うと楽しみですが、首都高速の入り口閉鎖や青信号の短縮などは、交通に大きな影響を及ぼしそうです。政府はできるだけ「公共交通機関を利用するように」と言いますが、そうは言ってもいられない……と感じた方も多いのではないでしょうか。

今回は、そんなわり切れない思いにちなんで、わり切れない数を扱った問題を作りました。「辛抱強く題意を読み解く」ということを念頭に置いて、ぜひチャレンジしてください。

問題

ある数について6、7、8、9のわり算を考え、わり切れない数の個数を【 】で表します。たとえば、24は6、8でわり切れ、7、9でわり切れないので、【24】=2です。さらに、126は6、7、9でわり切れ、8でわり切れないので、【126】=1です。nを1以上2020以下の整数とするとき、

(1)【n】=0をみたすnの個数はいくつですか。

(2)【n】=1をみたすnの個数はいくつですか。

ヒント

(1)【n】=0をみたすnは、6でわっても7でわっても8でわっても9でわってもわり切れる数です。わり切れない数の個数が0ということは、4つの数のいずれでもわり切れるということです。
(2)【n】=1とは、6か7か8か9でわると、1つだけわり切れない。つまり、あまりの出る数が6~9の中にひとつだけある数です。あまり見たことがないあまりのある数の問題です。
(参考)
2019年度駒場東邦中学校 第3問

 

解答・解説はこちら

解答

1)

7は6、8、9のいずれとも「互いに素(公約数が1以外にない)」である。したがって、これを利用すると、3つの数6、8、9の最小公倍数は72だから、4つの数6、7、8、9の最小公倍数は72×7=504とわかる。

すなわち、6、7、8、9の公倍数は
   504、1008、1512、2016、2520、…

であり、【n】=0をみたすnは504、1008、1512、2016の4つである。

   4個 (答)

 

(2)

【n】=1となるnは、6~9でわると1つだけわり切れない数がある数である。

(イ) 6だけわり切れない
8でも9でもわり切れる数は72の倍数だから、そのような数は必ず6でもわり切れる。よって、条件をみたすnは存在しない。

(ロ) 7だけわり切れない
3つの数6、8、9の最小公倍数は72、4つの数6、7、8、9の最小公倍数は504だから、1から504の中に条件をみたす数は

   7-1=6(個)

2016までの数の中には6×4=24(個)ある。2016の次は2016+72=2084となり、条件をみたさない。

よって、7だけわり切れない数は24個ある。

(ハ) 8だけわり切れない
3つの数6、7、9の最小公倍数は126だから、1から504の中に条件をみたす数は

   504÷126-1=3(個)

2016までの数の中には3×4=12(個)ある。2016の次は2016+126=2142となり、条件をみたさない。

よって、8だけわり切れない数は12個ある。

(ニ) 9だけわり切れない
3つの数6、7、8の最小公倍数は168だから、1から504の中に条件をみたす数は

   504÷168-1=2(個)

2016までの数の中には2×4=8(個)ある。2016の次は2016+168=2184となり、条件をみたさない。

よって、9だけわり切れない数は8個ある。

以上から、求めるnの個数は

   24+12+8=44(個) (答)

混乱せずにここまでたどり着けたでしょうか。今回は混乱しそうな問題を意図的に作ったので、ここまでがんばって読み解いた人はりっぱです。これからも、ご愛読よろしくお願いしますね。

今回は以上でおしまい。それでは、また来月にお会いしましょう。

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出題・文

学習サポートセンター カズ

Z会の学習サポートセンターで、日夜会員のみなさんからの質問相談に応じている。

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