小田先生のさんすう力UP教室(1・2年生)

論理の力を鍛えよう

さんすう力を高めるにはどうしたらいいの? まあ、そんなに難しく考えないで、まずはお子さまと一緒に問題に取り組んでみましょうよ。
(執筆:小田敏弘先生/数理学習研究所所長)

 こんにちは、最近はそうめんばかり食べている小田です。そうめんには錦糸卵を載せて食べるのが好きだったのですが、それって地域的なものであって、一般的なものではないのですね。東京に出てきた当初、錦糸卵をスーパーに買いに行ったら、あまり置いていないことに衝撃を受けました。市販されている薄くて細いやつが好きなのですが、今住んでいるところの周辺でも、あまり手に入りません。自分で作るのは難しそうなので、どうしたものやら。

 さて、今回は論理の問題です。“論理”というと、「これがこうだから、ここがこう」と“順序立てて考える”こと、というイメージが強いですが、今回はそれとはまた違った側面から“論理”にアプローチしていきたいと思います。

 それでは早速行ってみましょう。

Stage42: 論理の力を鍛えよう

例題

 1~9までの数字が書かれたカードが、それぞれたくさんあります。

 この中から3枚を選んで、書かれた数の合計が7になるようにしたいと思います。
 3枚のカードの選び方として、考えられるものをすべてあげてください。

 

例題の答え

(1,1,5)(1,2,4)(1,3,3)(2,2,3) の4通り

 問題の意味はいいですね。問題文に「それぞれたくさんあります。」と書いてあるので、同じ数を何度も使って構いません。
 基本的には、お子さまの好きなように探してもらって大丈夫です。見つけたら、褒めてあげましょう。また後程詳しくお伝えしますが、今回の問題は「過不足なく挙げられるかどうか」がポイントです。最初のうちは、「全部で何通りあるか」というヒントは出し渋るようにしてください。答えらしきものを見つけたとき、和が7になっていない組み合わせがあれば、それは「これは足しても7にならないね」という指摘をしていただいて構いません。
 いくつか組み合わせを見つけて、「もうなさそうだな」という雰囲気になったら、「ほかにはもうない?」と聞いてあげるといいでしょう。「本当にないかな?」と何度か念を押して、それでも「ない!」と自信をもって返答してきたら、過不足なく書けている場合は「正解」、足りないものがある場合は「まだあるよ」と伝えてあげてください。なかなかすべてが見つからず、苦戦しているようなら、最終的には「あと何個あるよ」というのを伝えてあげても構いません。

解いてみよう

 1~9までの数字が書かれたカードが、それぞれたくさんあります。

 この中から3枚を選んで、書かれた数の合計がそれぞれ以下の数になるようにしたいと思います。

 3枚のカードの選び方として、考えられるものをすべてあげてください。

 (1) 5                        (2) 10                          (3) 12

 (4) 15                      (5) 20

 

 また、4枚を選んで書かれた数の合計がそれぞれ以下の数になるようにしたいとき、4枚のカードの選び方として、考えられるものをすべてあげてください。

 (6) 7                        (7) 10                          (8) 12

解答

 (1) (1、1、3)(1、2、2)の2通り

 (2) (1、1、8)(1、2、7)(1、3、6)(1、4、5)(2、2、6)(2、3、5)(2、4、4)(3、3、4)の8通り

 (3) (1、2、9)(1、3、8)(1、4、7)(1、5、6)(2、2、8)(2、3、7)(2、4、6)(2、5、5)(3、3、6)(3、4、5)(4、4、4)の11通り

 (4) (1、5、9)(1、6、8)(1、7、7)(2、4、9)(2、5、8)(2、6、7)(3、3、9)(3、4、8)(3、5、7)(3、6、6)(4、4、7)(4、5、6)(5、5、5)の13通り

 (5) (2、9、9)(3、8、9)(4、7、9)(4、8、8)(5、6、9)(5、7、8)(6、6、8)(6、7、7)の8通り

 (6) (1、1、1、4)(1、1、2、3)(1、2、2、2)の3通り

 (7) (1、1、1、7)(1、1、2、6)(1、1、3、5)(1、1、4、4)(1、2、2、5)(1、2、3、4)(1、3、3、3)(2、2、2、4)(2、2、3、3)の9通り

 (8) (1、1、1、9)(1、1、2、8)(1、1、3、7)(1、1、4、6)(1、1、5、5)(1、2、2、7)(1、2、3、6)(1、2、4、5)(1、3、3、5)(1、3、4、4)(2、2、2、6)(2、2、3、5)(2、2、4、4)(2、3、3、4)(3、3、3、3)の15通り

さんすう力UPのポイント

 算数・数学での「論理」は、一般的にイメージされる「論理」とは少し違った性質をもっています。

 わたしがよく例に挙げるのは、「雨が降っているから傘を持って出かける」という文が、「論理的」に正しいかどうか、という話です。日常生活の場面では、さすがにこれを「論理的ではない」と言う人はいないでしょう。日常的な意味での「論理」では、つながりに納得できるかどうか、というところに主眼が置かれます。しかし、算数・数学的な考え方をすれば、これは「正しいとは言えない」と言うこともできるのです。

 算数・数学において「論理的に正しい」というとき、「“必ず”そうなる」ということを大事にします。今回の例でいうと、「雨が降っている」なら必ず「傘を持って出かける」かどうか、と考えるのです。少し考えればわかりますが、これは“必ず”そうする、とは言えませんね。「雨が降っている」から「走っていく」というのもありますし、「地下を通る」というのもあります。「出かけない」というパターンだってあるでしょう。つまり、「雨が降っているから傘を持って出かける」というのは、“必ずしもそうするとは限らない”という意味で、「正しいとは言えない」と考えることができるのです。

 さて、そういった「必ずそうなるかどうか」という視点で論理を組み立てていくとき、最初に必要になるのが、「結論の可能性のある候補を、過不足なく列挙する」力です。もちろん、日常生活においては、考えられる選択肢をすべて列挙する、ということは現実的に不可能でしょう。しかし、算数・数学では、それが可能なことはよくあります。問題文で「3つの数があって、その和が7」という条件があれば、それらの組み合わせは、例題の答えの4通りとわかります。これら4つの組み合わせについて、それぞれ他の条件と照らし合わせていけば、「正解」を見つけることも可能です。

 「3つの数があって、その和が7」と言われたとき、「じゃあ、その3つの数は(1、2、4)だ!」としてしまうのは、算数・数学においては間違いです。「だって、1と2と4を足したら7になるじゃん!」と言われてしまうと、なんとなく正しいような気になってしまうところは、算数・数学の「論理」の難しさのひとつかもしれません。しかも、「問題の答え」としては、たまたま正解してしまうこともありますしね。しかし、毎回正解できるかというと、そんなことはないでしょう。たまたまではなく、毎回きちんと“正解”する力をつけるために、「ほかにもないかな」と考えられる候補を列挙していく姿勢と力を身につけてほしい、というのが、今回の問題のねらいでした。


 いかがでしょうか。

 わたしの運営している数理学習研究所では、「個々人の算数・数学学習」を大事にし、それをサポートするのがこちらの役割、と考えております。その一環として、長期休暇中の授業は個々の希望に応じる形にしており、そのため、夏休みはお休みになる子もいれば、逆に夏休みの間だけくる子もいます。とくにこの夏は、久しぶりに会う子が多かったのですが、子どもって少し会わないだけでも急に成長しますよね。算数・数学の学習が進んでいるかどうかはさておいて、背が伸びたり言動が大人びたりしているだけでも、とてもうれしくなってしまいます。いろんな子の成長を手放しで楽しめる、というのも、この仕事のひとつの役得かもしれません。夏休み明けに久しぶりに会う子たちの成長も、楽しみにしています。

 それではまた来月!

文:小田 敏弘(おだ・としひろ)

数理学習研究所所長。灘中学・高等学校、東京大学教育学部総合教育科学科卒。子どものころから算数・数学が得意で、算数オリンピックなどで活躍。現在は、「多様な算数・数学の学習ニーズの奥に共通している“本質的な数理学習”」を追究し、それを提供すべく、幅広い活動を展開している(小学生から大人までを対象にした算数・数学指導、執筆活動、教材開発、問題作成など)。

公式サイト:http://kurotake.net/

主な著書

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