東大数学(理系・文系)~確率の問題を解く際のポイント~

東大の文系でも理系でもほぼ毎年出題されている確率の問題。難しめの問題が多く、十分な対策が必要な分野です。
東大を受験した先輩たちの受験勉強時の本音を少し見てみると…

 

▼過去に東大を受験した先輩たちの悩み

場合の数と確率、整数、ベクトル(特に場合の数と確率)に不安があります。数学は苦手ではありませんが、なんとなくいまいちな感じです。正直、場合の数と確率は何度か克服しようと試みて、いまだにできていないので、そんなに時間かけても無駄かな?とか思っています。
まずは自信のないところから、と思って整数、数列、確率と例題に絞って取り組んできたのですが、今のペースでは本番までに東大レベルまで到達できないのではないかと不安です。
勉強が進まず、焦ってしまいます。数学は数III、確率、整数に絞ってやっているのですが…。

やらねばならない重要な単元であるだけに、不安を抱えている受験生も多いようです。

  • 参考書で学習しても解けるようになっているのかわからない
  • 入試問題で演習しても解けるようになっているのかわからない
  • 過去問を解くことができない

いったいどうしたら、東大で出題されるような確率の問題を解けるようになるのでしょうか。
東大入試の傾向を分析してみます。

 

▼東大数学 確率の問題を解く際のポイント

東大の確率の問題の特徴は次の3つに整理することができます。

(1) 事象に文字nを含むことが多い
(2) 設定や試行を理解しづらいことがある
(3) 確率をどのように求めるのかの方針選択がカギをにぎることがある

ここから、受験生がまずとるべき対策・アプローチはおおよそ次の2つになります。
(i) 問題の趣旨を把握する
(ii) 確率を求める方針選択を見極める

そして、(i)は、より具体的な方法として
(ia) n=2、3などの具体的な場合で考えてみる
(ib) 図や表をかいて視覚的に整理する
などと説明されます。

一方、(ii)は、より具体的に表現すると
(iia) 確率の公式を用いて直接求める
(iib) 漸化式を立てて求める
という2つの方法から見極めることになります。

また、問題の特徴(1)から、nが偶数のとき、nが奇数のときのように、場合分けが必要になることもありますし、煩雑な計算を完遂することが求められることもあります。

東大を目指す受験生であれば、上のような内容は、表現の違いはあれど、理解しているでしょう。知らなかったという人は今回を機会に東大入試の情報として覚えておけばよいです。
これらを前提として、受験生のなかで確率の問題を解ける・解けないの差が生じています。その原因は、上記のアプローチ・対策をどの程度実践できているかという精度にあります。確率の問題では、上記のアプローチ・対策を実践できているかどうかが大きく結果を左右してしまうのです。

  • 制限が設けられた短い時間で、実践できるかどうか
  • 具体例から一般化するために、どこに注目しているか
  • 図や表での整理が、わかりやすく把握できるようになっているか

上記のような細かい違いが、残り時間を圧迫し、思考の幅を狭め、正答へと至る道を閉ざしてしまうのです。

これを回避するためには、学習の質を高めなければなりません。
やみくもに「演習する」「復習する」という時間の浪費になりかねない学習を卒業し、力のつく学習へ切り替えていきましょう。
そして、他の科目の学習を圧迫することなく、ほぼ毎年出題される確率の問題を攻略していきましょう!

 

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