カコモンにTRY!

駒場東邦中学校の算数にTRY!

「カコモンにTRY!」は、過去の中学入試で出題された問題のなかから、中学受験コースの皆さまに挑戦していただきたい問題を紹介するコーナーです。
ぜひ、お子さまと一緒に取り組んでみてください。

※ 5年生以上で習う漢字には文章の後に読み仮名(がな)をまとめています。

今回の問題をご紹介する理由

整数の性質に関する問題です。
(1)、(2)では、問題にあう整数を、成り立ちから2つのグループに分けて考えることがポイントです。(3)では、それぞれのグループ内の数どうしや、別のグループに属する数どうしの、和や差に注目して考えていきます。出題された年度である「2021」がうまく活用できることにも、早めに気づきたい問題でした。

  • 今回のレベル ★★★

★:3・4年生も理解できる基礎的な問題
★★:4・5年生ががんばって解ける問題
★★★:5・6年生向けハイレベル問題

■読み仮名

性質(せいしつ)、属(ぞく)する、理解(りかい)、基礎的(きそてき)、解(と)ける

※ 5年生以上で習う漢字には文章の後に読み仮名をまとめています。

問題

 

2021年度 駒場東邦中学校 算数 大問4

■読み仮名

駒場東邦(こまばとうほう)中学校、並(なら)べて、何個(なんこ)、平均(へいきん)

※ 5年生以上で習う漢字には文章の後に読み仮名をまとめています。

攻略法

【解答】

(1)178個
(2)5504.5
(3)2021, 2726, 6768, 7473

【解説】

2021, 6465のように、上2けたの数より下2けたの数のほうが大きいものを「A型の数」
2120, 6564のように、上2けたの数より下2けたの数のほうが小さいものを「B型の数」
とよぶことにします。

(1)
A型の数は、
 1011, 1112, 1213, …, 9899
の89個です。
B型の数は、
 1110, 1211, 1312, …, 9998
の89個です。
したがって、全部で、89×2=178(個)

(2)
A型の数を小さい順に並べた数列
 1011, 1112, 1213, …, 9899
と、B型の数を小さい順に並べた数列
 1110, 1211, 1312, …, 9998
はどちらも、差が101ずつの等差数列なので、和はそれぞれ、
 (1011+9899)×89÷2=10910×89÷2=5455×89
 (1110+9998)×89÷2=11108×89÷2=5554×89
したがって、平均は、
 (5455×89+5554×89)÷(89×2)=5504.5

【(2)の別解】
A型の小さいほうから1番目の数と、B型の大きいほうから1番目の数の和は、
 1011+9998=11009
A型の小さいほうから2番目の数と、B型の大きいほうから2番目の数の和は、
 1112+9897=11009

A型の小さいほうから89番目の数と、B型の大きいほうから89番目の数の和は、
 9899+1110=11009
したがって、求める整数すべての合計は、11009×89となるから、平均は、
 (11009×89)÷(89×2)=5504.5

(3)
2021=43×47だから、2021は47の倍数です。
A型の数を小さい順に並べた数列は差が101ずつの等差数列なので、A型の数は、
 2021+101×□ または 2021-101×□
の形で書けます。1011以上9899以下で101×□が47の倍数のものを考えると、
 2021+101×47=6768

次に、A型の数とB型の数の和を考えます。
A型の数は、1011+101×△の形で書けて、B型の数は、1110+101×▽の形で書けるので、A型の数とB型の数の和は、
 (1011+101×△)+(1110+101×▽)
 =2121+101×△+101×▽
 =101×(21+△+▽)
より、必ず101の倍数になります。
だから、2021との和が47の倍数になるB型の数の1つは、
 101×47-2021=2726
と求められて、これは47の倍数です。
すると、B型の数は、
 2726+101×■ または 2726-101×■
の形で書けるとわかるから、1110以上9998以下で101×■が47の倍数のものを考えると、
 2726+101×47=7473

したがって、47の倍数は、
 2021, 2726, 6768, 7473

【(3)の別解】
「2726」を見つけるところは、次のように考えることもできます。

A型の数(1011を除く)から2をひくと、B型の数になるので、A型の数のうち47でわると2あまる数を探します。
101÷47=2あまり7 で、7×7=49だから、
 2021+101×7=2728
は、47でわると2あまる数とわかります。
つまり、2728-2=2726は、47の倍数です。

■読み仮名

除(のぞ)く、探(さが)し
※ 5年生以上で習う漢字には文章の後に読み仮名をまとめています。

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