どーんとこい!中学入試の算数

第34回 あまり見ないあまりのある問題!

大人でもちょっと手こずってしまうような、難問奇問が続出する中学入試の算数。
でもだいじょうぶ、コツさえつかめば怖くありません!
学習サポートセンターのカズが、算数を楽しく学ぶ方法を伝授します。

あまりを題材にした問題は、今年の城北中学でも出題されています。江戸時代の数学者である吉田光由が記した書物「塵劫記」の中にある百五減算をヒントに問題作成したものです。百五減算は、3、5、7でわったあまりがわかれば元の数がわかるというもので、小学生向けの「数当て」のネタにされたり、大学入試の出題ネタにもなったりしたことがあります。

9月号に出題したあまりの問題でも、6、7、8、9でわったあまりについて考えましたが、今回は12進法の考えをあわせて問題を作成してみました。根気があれば解けるはず! でも、なかなか大変ですよ。

問題

(1)

不思議の国では、時間を次のように数えます。

  • 1日は12時間
  • 1時間は12分
  • 1分は12秒

このとき、2019秒は何日何時間何分何秒でしょう。たとえば、「1日0時間3分9秒」のように、答えなさい。

 

(2)

(1)の答えの4つの数を並べたものを○とします。「1日0時間3分9秒」であれば、○=1039です。

このとき、6、7、8、9のいずれでわってもあまりの出る数で、○番目の数を求めなさい。

ヒント

入試では、2進法を中心に3進法、4進法までがよく出題されます。今年の渋幕の問題も3進法の問題でした。12進法ではありますが、n進法の基本的な考え方が理解できていれば、(1)は難しくありません。

(2)が頭を使う問題です。6、7、8、9の中で、6と8、6と9には1以外の公約数がありますから、まずは6、8、9で割り切れない数について調べてみましょう。周期性に着目することがポイントです。

(参考)
2019年度駒場東邦中学校 第3問
2019年度渋谷教育学園幕張中学校 第2問

解答・解説はこちら

解答

(1)

   2019÷12=168 あまり3
よって、2019秒は、168分と3秒になります。そして
   168÷12=14
よって、168分は、14時間になります。14時間は1日と2時間ですから、2019秒は
   1日2時間0分3秒 (答)

 

(2)

7は6、8、9のいずれの数とも「互いに素(公約数が1以外にない)」です。したがって、これを利用すると、3つの数6、8、9の最小公倍数は72だから、4つの数6、7、8、9の最小公倍数は72×7=504とわかります。

次に、1から72までの数で、6、8、9のいずれでも割り切れない数を書き出すと

1、2、3、4、5、7、10、11、13、14、15、17、19、20、21、22、23、25、26、28、29、31、33、34、35、37、38、39、41、43、44、46、47、49、50、51、52、53、55、57、58、59、61、62、65、67、68、69、70、71

ぜんぶで50個。したがって、1から504までの数で、6、8、9のいずれでも割り切れない数は
   50×7=350(個)

7は6、8、9のいずれとも互いに素で、1から504までの数のうち、が7の倍数になります。

したがって、6、7、8、9のいずれでも割り切れない数の個数は、

   350×=300(個)

すなわち、1から504までの数で、6、7、8、9のいずれでも割り切れない数は300個あります。

ここで、(1)の答えより、○=1203だから、
   1203÷300=4あまり3
であり、504×4=2016になります。すなはち、1から2016までの数の中に6、7、8、9で割り切れない数は1200個です。

さらに、2017以降で6、7、8、9のいずれでも割り切れない数は2017、2018、2019、…だから、6、7、8、9のいずれでも割り切れない数で1203番目の数は

   2019 (答)

この問題では、

  • 2019を12進法で表すと1203(12)になる
  • 1から2019までの数で、6、7、8、9で割り切れない数は1203個ある

と、同じ数字になっていることを意味します。そもそも2016が1200で一致し、2021までは一致し続けます。前者は指数関数的に、後者は周期加算的に増える数ですので、2019を西暦ととらえれば、今後(2022年以降)はこのようなことは起こりません。

今回は以上でおしまい。それでは、また来月にお会いしましょう。

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学習サポートセンター カズ

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