「京大理系数学」2020年度京大入試分析

 

今年度の入試を概観しよう

分量と難度の変化

  • 分量は変化なし。
  • 難易度はやや難化。

2020年度入試の特記事項

  • 2019年度は大問1が小問に分かれたが、今年度は大問に戻った。
  • 昨年度と同様に、共通問題2題が理系と完全共通。難易度はそれほど高くない。

合否の分かれ目はここだ!

  • 大問1、大問2、大問3、大問5から得意、不得意を考慮しつつも3完分を確保できれば勝負になるだろう。
  • 大問4、大問6は方針が見えるかどうかだろう。特に大問6ははまると時間をロスする恐れがある。
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さらに詳しく見てみよう

大問別のポイント

 第1問  

実数解1つと共役な虚数解2つをもつことはすぐにわかるだろう。“複素数平面上で正三角形の頂点となっている”という条件で解の条件を絞り込めるが、頂点の位置関係について丁寧に考察が必要。あとは、解と係数の関係を用いて、abの値、解を順次求めていけばよい。

 第2問 

(1)は有名問題で問題ないだろう。数学的帰納法を用いればよい。また、(2)は(1)がヒントであることに注意しよう。sinの中のαnをβnに直すと処理の方向が見えてくる。

 第3問 

内積に関する条件式から、図形の性質を見抜けるかどうかがポイントで、正三角形OAB、OCDの位置関係が見通せれば、あとは難しくない。図形的な見方に慣れていない人には難しいかもしれない。

 第4問 

3で何回割り切れるかを調べるのが目的で、式の形から条件(iii)を手掛かりに場合分けを始めるのがよい。この方針が見えれば、3の剰余で丁寧に場合分けしていくだけである。

 第5問 

4×4のマスを数字で埋める問題。具体的に実験してみればよく、特定の行、列の数字の選び方を考えると、残りのマス目の数字の入れ方に制限がつくことが見えてくる。

 第6問 

回転体の体積を求める問題。曲面Sは花びら状になるが、この曲面をx軸に垂直な平面で切断した切り口の図形の式に思考の方向が向かうとドツボに嵌る。曲線図形を回転させたとき、線分を回転させたものと同じ結果を得ることに気がつくかどうかがカギだが、難しいだろう。

攻略のためのアドバイス

京大理系数学を攻略するには、次の3つの要素を満たす必要がある。

●要求1● 手早く正確に計算をする力

京大では煩雑な計算を行う出題は多くないが、着想、論理展開に時間を奪われる出題が多い。それだけに、方針が立ったあとの計算は手早く正確に行うことが重要で、計算時間を短縮できれば、ほかの問題を解く時間に使うことができる。計算力は日々の計算練習で身につく。日々の問題演習において、最後まで計算し、確認する習慣をつけることが大切である。

●要求2● 問題の構造を捉える力

京大理系数学において頻出の分野として、図形問題がある。図形問題には、初等幾何、ベクトル、座標幾何などいろいろな解法があり、 どの解法を取ればよいのかをまず考えてから解く必要があるものが多い。どの解法を使うのか、見方を変えてほかの問題に帰着させることができないかなどを発想できる力をつけることが必要である。発想力は、京大の過去問など発想力を鍛えられる問題を解き、考える訓練をすることで身につけられる。

●要求3● 採点者に自分の考えを伝える力

証明問題において論証力が要求されることは言うまでもないが、求値問題においても、答えに至る過程を丁寧に説明する力が要求されるものが目立つ。2019年度の大問1問1がその例である。答えは予想できるが、その値以外にとらないことを論述しなければ得点に繋がらない。記述式の試験においては、自分の頭の中では分かっていてもそれを採点者に伝えることができなければ、点数に結びつかない。論理的に無理なく、より簡潔に答案を書くための論証力をつけることが必要である。論証力は自分一人で勉強を進めても身につきにくい。この力は、Z会の通信教育で別の人に採点・添削をしてもらい、その結果を復習することで身につけられる

対策の進め方

まずは、各分野の完成からである。京大入試では様々な考え方が必要とされるので、苦手分野があれば、遅くとも高3の夏休みまでには克服したい。Z会の通信教育では、入試に必要な考え方を幅広い分野の演習を通して身につけることができるようになっている。

高3の秋以降は、それまでに身につけた考え方を、実戦的な問題演習を通して使いこなせるようにしていこう。受験生用のZ会の講座では、微積分、図形、整数、確率といった京大頻出分野の問題を中心に、論証力も養成されるように学習を進めていく。

共通テストが終わったあとは、これまでの学習の総まとめである。京大入試に即応したZ会の問題で、入試に使える計算力・発想力・論証力を完成させよう。

Z会で京大対策をしよう

Z会京大理系数学担当者からのメッセージ
  • 京大数学では数式処理力、発想力、観察力、論述力がバランスよく問われる出題構成が多く、2020年度も大問毎に問われる力が明確なバランスの良いセットの出題でした。合格点を稼ぐためには、集中して取り組む問題を選ぶ力も必要で、今年度は大問1、大問2、大問3、大問5を軸に着実に得点を重ねる、などという戦略も重要になります。
  • また、大問3、大問5のように、受験生が苦手とする見方を敢えてつく出題も多く、これは「数学をきちんと勉強してきたか?」を見るのが狙いです。解法の暗記や、身についてないテクニックを用いるなどのうわべだけの学習に対する警鐘ともいえます。
  • Z会の京大コースでは、京大数学で問われる頻出テーマや分野を網羅するだけでなく、添削指導や豊富な解説で真の理解と応用力を育むことができます。1問1問を味わい尽くすように1年間取り組むことで、1年後には想像以上の学力が身につきます。

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