東大数学(理系・文系)~整数問題のポイント~

東大の文系でも理系でもほぼ毎年出題されている整数問題。一般に難しいと言われています。
実際の受験生はどう感じているのでしょう?Z会に寄せられる質問を見てみると…

 

▼過去に東大を受験した先輩たちの悩み

数学は苦手ではありませんが、なんとなくいまいちな感じです。塾の復習をして標準レベルを固めるのか、それとも応用に手を出すのか、どちらが自分に合ってるのか分かりません。場合の数と確率、整数、ベクトルに不安があります。
まずは自信のないところから、と思って整数、数列、確率と例題に絞って取り組んできたのですが、今のペースでは本番までに東大レベルまで到達できないのではないかと不安です。
東大実戦模試を受けてきました!夏休みで苦手な数学の標準問題を解けるようにはしたものの、やはり考える力の不足を感じました。そこで、(今までもやってきましたが、)Z会の添削問題のやり直しや数学の過去問で考える力の強化に努めたいのですが、優先的にやった方が良い分野は有りますか?例えば整数や確率は頻出ですが…スパイラルにやった方が良いのか、よく分かりません。東大の確率や整数は難しいのでそこを早めに手を打った方が良いとも思うのですが…。
数学でそろそろ東大過去問を通して演習したいのですが、整数問題で苦戦します。整数の性質など(連続2整数は互いに素など)のマスターをしたいのですが、お勧めの書籍、または勉強法があれば教えていただけると嬉しいです。

やはり難しいと感じる受験生が多く、重点的に学習する単元としてよく挙げられていることがわかります。

避けては通れない整数。どのようにしたら克服・突破できるのでしょうか?
東大入試の傾向を分析してみます。

 

▼東大数学 整数問題を解く際のポイント

東大の整数の問題の題材は、余り、二項係数、約数・倍数など多岐に渡ります。また、見慣れない出題であることも多いです。

つまり、東大の整数問題では、初見の問題に対応する力が試されているわけです。したがって、日ごろからこのことを意識してさまざまなタイプの問題を練習しているかどうかが大切になってくるのは間違いありません。
すると、残された時間が限られ、初見の問題に対応するだけのひらめきのようなものをなかなか養えない人には、対策できないようなイメージを持ってしまいませんか?

対策できないなんてことはありません!

確かに東大の整数問題は難しいのですが、そもそも整数の性質で扱われる題材は多彩です。したがって、その1つ1つに対してやり方を覚えるというやり方をとっていたとしたら、対応できるわけがありません。学習や知識の整理の仕方を見直す必要があります。

整数に関する知識や考え方がぼんやりとしていたり、曖昧であったり、あるいは、問いかけられないと引き出せないような形で覚えられていませんか?自分の得意分野の知識の整理のされ方と比べてみてください。

まずは、この知識の整理と引き出し方を見直していくことが第一歩です。
整数の性質をおおまかに整理すると、次の3つの性質があります。

  • -1、0、1、…、と飛び飛びに存在している
  • 積の形に分解される
  • ある数で割ったときの余りで分類できる

この大きな3つの性質のもとに他の知識を整理していけば、初見の問題を見たときでも方針が立たないということを避けることができます。

 

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