東大数学（文系）を徹底分析合否を分けたのはこの問題

Ｚ会の東大コース担当者が、2022年度入試の東大文系数学を徹底分析。受験生の再現答案や得点開示データをもとに、合否を分けた「差がつく一問」を選定し、東大文系数学の攻略法を詳しく解説します。

まずは、2022年度の「東大文系数学」を俯瞰しよう

はじめに、問題構成や出題傾向をおさえて、「自分が受ける入試問題」を正確に把握しましょう。

解きやすい問題の見極めが重要でした

今年度も例年と同様に、難易度が高い問題の合格者・不合格者の平均点はともに低めでその差は小さいですが、解きやすい問題の合格者・不合格者の平均点の差は大きいようです。この差が合否に大きく影響しているといえます。

各大問の難易度・出題形式・テーマはこちら

第１問　【難易度：やや難】

●出題形式・テーマ
図形と方程式

●問題の内容・分析
座標平面上の放物線が「原点で直交する2本の接線をもつ」ための条件を考察する問題。
（1）では、放物線を表す関数に含まれる文字定数のみたす条件を求める。方針に迷うところは少ないのだが、多くの文字を同時に相手にすることになるので、ある程度、処理の方向性が見えてないと行き詰まりやすい。また、設問の後半「αの値はすべての実数をとりうる」ことを示すところも、慣れていない人にとっては決して易しくなかっただろう。
（2）は、図形でも、方程式でも、さまざまな方針が考えられ、どの方針で処理していくかの判断が難しい。また、（1）と同じく多くの文字を相手にするので、適切な見方や捉え方が要求され、文系の受験生にとっては難しかったと思われる。

第２問　【難易度：標準】

●出題形式・テーマ
微分法

●問題の内容・分析
3次関数のグラフに関する問題。
（1）は、グラフ上の点から法線を引くとき、グラフと法線が相異なる3つの共通点をもつための条件を求める問題。第1問と同じく、本設問も方針に迷うところはないのだが、その式がやや複雑であり、置き換えなどを工夫して、見通しよく処理していかないと行き詰まってしまいやすい。決して易しくないが、他の問題の難易度を考えると、本設問は、ぜひとも得点しておきたい。（2）と（3）は、（1）を見通しよく処理できれば方針に迷うことはないだろう。

第３問　【難易度：やや難】

●出題形式・テーマ
数列、整数

●問題の内容・分析
漸化式を用いて帰納的に定義された数列に関する問題。整数問題との融合問題であり、東大らしい問題である。
（1）は年度にちなんだ「第2022項」を3で割った余りを求める問題。もちろん、一般項そのものを求めることは難しいので「帰納的定義」をうまく活用した方針を立てるところがポイントになる。本設問は「類題」の経験で差がついたであろう。
（2）は、「第2022項」「第2023項」「第2024項」の最大公約数を求める問題。これら3つの値の最大公約数を文字でおき、必要条件から絞り込むのが一つの方法であるが、文系の受験生には難しかったと思われる。

第４問　【難易度：やや難】

●出題形式・テーマ
場合の数と確率

●問題の内容・分析
コインを投げて、その裏表によって動く点を題材にした確率の問題。本問は、まずその設定を理解することが第一であり、そもそもここが難しかったと思われる。
（1）は本問の設定を理解できたかを試す問題であり、得点しておきたい。表の回数が少なくとも3の倍数になることが必要であることが見抜けると見通しがよいが、列挙もやむなしかもしれない。
（2）は表の回数と裏の回数が決まっているので、どのような順番で出れば条件をみたすか、場合の数が計算できるように「題意を読み替える」ことがポイントになるが、いずれにしても受験生にとっては難しかったと思われる。

合否の分かれ目は？

合格者・不合格者の平均で最も大きく差がついた大問が第2問であり、抽出した答案では5点以上の差がありました。本問以外の大問は全体的に難しく、各大問の前半の設問でどのくらい得点できるかポイントになったようです。これらの大問における部分点をどの程度、積むことができるかによって、さらに合格者と不合格者の差がついたと思われます。

⇩
差がつく一問は
≪第2問≫

差がつく一問の注目ポイント

本問は3次関数のグラフとその「法線」との共有点の個数に関する問題です。まずは、微分法を用いて「法線」の方程式を与えられた文字で表し、その後、3次方程式の実数解について考察していきます。内容としては入試として典型的です。数学が得意ではない文系の受験生が少なくないのは事実ですが、標準的なレベルの問題に対応できないと、文系入試では理系以上に数学で致命的な差がついてしまいます。

受験生の再現答案＆添削を見ながら、差がつくポイントを確認しよう

Ｚ会では、受験生が作成したこの大問の再現答案を、独自の採点基準に基づいて添削しました！

結果はこちら

一見、解答欄びっしりに解答が書かれていて、点数がしっかりとれそうな答案に見えます。しかし、Ｚ会が採点した結果は、20点中2点。Ｚ会が設定した目標点である12点には届きませんでした。

それでは、この答案には、「どんな要素が足りなかったのか」「どういう対策をしていれば目標点に届いたのか」を詳しく見ていきましょう。

目標点とのギャップをどう埋める？

まず法線lの方程式を正しく導くことができています。このとき、αの値によっては傾きの分母が0となるので、その場合は別途考察すべきでしょう。そして、その後、曲線Cの方程式と法線lの方程式を連立して3次方程式の実数解の条件の考察に読み替えることができています。ここから、方程式の左辺の関数を微分法で捉えようという方針はいいのですが、これが難しく止まってしまった形です。ここでは、Cもlもいずれも点Ｐを通るのですからこの方程式はx=αを解にもつと見抜けると道が開けたはずです。

受験生全体の解答傾向は？

本問における合格答案と不合格答案の差は、上記に気づけたかどうかが最も大きいです。もし、この事実に気づけば、2次方程式の議論が進むことになり、さらに(2)で現れるβとγはこの2次方程式の2解に他ならず、難易度がグッと下がることがわかるかと思います。つまり、合格答案では上記に気づけばほぼ完答しており、逆に上記に気づかなければ、以後は白紙であることが多く、本問だけでもその得点差が大きなものになることがわかるかと思います。