東大理系数学 − 東大過去問対策合否を分けた「差がつく一問」

Ｚ会の東大コース担当者が、2022年度入試の東大理系数学を徹底分析。受験生の再現答案や得点開示データをもとに、合否を分けた「差がつく一問」を選定し、東大理系数学の攻略法を詳しく解説します。

まずは、2022年度の「東大理系数学」を俯瞰しよう

はじめに、問題構成や出題傾向をおさえて、「自分が受ける入試問題」を正確に把握しましょう。

解きやすい問題の見極めが重要

今年度も例年と同様に、難易度が高い問題の合格者・不合格者の平均点はともに低めでその差は小さいですが、解きやすい問題の合格者・不合格者の平均点の差が大きいようです。この差が合否に大きく影響しているといえます。

各大問の難易度・出題形式・テーマはこちら

第１問　【難易度：標準】

●出題形式・テーマ
微積分の計算

●問題の内容・分析
数学Ⅲの微積分の計算問題。難しくはなく、必ず押さえておきたい問題であった。
（1）では、「微分と積分の関係」や三角関数絡みの符号の評価が問われたが、易しい。
（2）は、置換積分や部分積分といった工夫を要するが、東大で頻出の形でもあり、東大受験生であれば演習の中で経験していたレベルであろう。怖いのは計算ミスであり、焦らず着実に進めたい。

第２問　【難易度：やや難】

●出題形式・テーマ
整数の漸化式の論証

●問題の内容・分析
整数問題。漸化式から数列の構造を捉えることが問われていた。
（1）は、定石どおり5で割った余りの周期性を指摘すればよい。論証としては数学的帰納法でまとめるのが簡明だろう。
（2）が難しい。（1）の結果あるいは過程からヒントを得ていきたい。いろいろなアプローチがあり得るが、（1）で示した事柄が「nが3の倍数であることは、α_nがα₃の倍数であるための十分条件」であったと気づくと早いだろう。ただし、答えの見当がついても、必要性の証明は整数問題のセンスを身につけていないと書きにくい。
（2）ができた人は、（3）でも上積みしたい。8091＝2022×4+3に注目して、最大公約数のわかる形に整理していく。

第３問　【難易度：やや易】

●出題形式・テーマ
放物線と領域

●問題の内容・分析
放物線や領域を題材とした問題。わかってしまえば考察も計算も全く難しくはないが、「適切な図がかけるか、状況が理解できるかで差がつく」というタイプであった（東大ではこういったタイプの問題は少なくない）。とはいえ、合格のためにはこれも落とせない。
（1）は状況把握の第一歩であり、確実に取りたいところだが、実際には混乱してしまった人もいるだろう。右のような図がかけていればOKである（大きな正方形がDであり、灰色の部分が（ⅰⅰ）によって除かれる部分）。
（2）では、さらに点P(a,a²)を中心とした面積4の正方形を図にかき込むことになる。位置関係により場合分けが生じるが、しっかり図がかけていれば難しくはない。そのあとの（3）も易しい微分法である。

第４問　【難易度：標準】

●出題形式・テーマ
3次関数のグラフ

●問題の内容・分析
微分法で、3次関数のグラフを扱う問題。数学Ⅲの微分法を持ち出す必要はなく、内容的にはほぼ文系数学の範囲である。正しく議論を進めれば処理も考察も大変ではないが、実際には迷路に迷い込んでしまった人も多そうだ。
（1）では、「f(x)＝0が3つの実数解をもつ⇔f(x)の極値の積が負」のような3次関数の扱いが問われた。（2）では、「直線lは曲線Cの対称の中心を通る」ことがポイントであった。いずれも、数学Ⅱの微分法を集中的に演習している文系の受験生ならお馴染みの発想だが、理系では使える道具も多く、また数学Ⅲを中心に演習していることから盲点になりやすいところではある。とはいえ、微積分を得点源とするなら、少なくとも途中までは取っておきたいところだ。

第５問　【難易度：やや難】

●出題形式・テーマ
回転体の体積

●問題の内容・分析
空間図形の問題で、断面を考えて体積を求めるというもの。闇雲にではなく、構想をもって見通しよく進めたい。
立体の対称性から、z軸に沿った積分で体積を求める方針が立つ。つまり、断面の面積を求めることが当面の最大の目標となるが、断面図はz座標によって場合分けが生じるので、自分のかいた図から先入観をもたないようにしたい。そのあとの積分計算は、定番の処理ではあるが面倒。順調に進めばよいが、計算ミスなどで泥沼にはまってしまった場合は、いったん他の問題に移るのも実戦的である。難問ではないが、解き切ることを考えると決して易しくはない。

第６問　【難易度：やや難】

●出題形式・テーマ
確率

●問題の内容・分析
Nのような文字を含んだ確率の問題では、「状態遷移を考えて漸化式を立式する」という方針もあり得るが、本問では状態の個数が多くなりすぎてうまくない。順列Pや組合せCなどを使って直接立式する方針が適するタイプであった。ランダムウォークとみると、点が進む方向が「今までに裏が出た回数」によって決まるランダムウォークである。つまり、コインの裏が出るごとに点の進む方向が変わるわけであり、そう考えると、「進む方向（＝裏が出た回数を3で割った余り）ごとに表の回数を数える」という発想にも至りやすかったかもしれない。なお、本問のベクトルは、複素数平面でいえば1、ω、ω²（1の3乗根）に他ならない。複素数平面として見ると、「a+bω+cω²＝0」が成り立つとき、a＝b＝cである」という本問のポイントにも気づきやすいかもしれない。間接的に複素数平面のセンスが問われたともいえそうだ。

合否の分かれ目は？

合格者・不合格者の平均で最も大きく差がついた大問が第3問であり、抽出した答案では7点以上の差がありました。この他、第4問も差が大きく5点以上の差がありました。これら以外の大問では、第2、5、6問の難易度が高く、各大問で部分点をどのくらい得点できるかポイントになったようです。第1問を完答し、第2、5、6問でどの程度、得点を積み増すことができるかによって、さらに合格者と不合格者の差がついたと思われます。

⇩
差がつく一問は
≪第3問≫

差がつく一問の注目ポイント

問題文中で述べられている「点Sが点Tから十分離れている」の理解、これに尽きます。東大では、本問のように問題の中で数式や言葉を定義し、それを用いて考察していく問題がときどき出題されます。問題文の中で定義されるのですから、当然、問題文は長くなりますし、予備知識は全受験生等しく0ですから、まさしく総合的な数学力が試される問題といえます。
(1)では「十分離れている」の意味の理解、(2)ではその意味を踏まえた場合分けの気づきがポイントであり、ここまでできれば(3)は自ずと得点できるでしょう。

受験生の再現答案＆添削を見ながら、差がつくポイントを確認しよう

Ｚ会では、受験生が作成したこの大問の再現答案を、独自の採点基準に基づいて添削しました！

結果はこちら

Ｚ会が採点した結果は、Ｚ会が設定した目標点である16点に対し7点となりました。

それでは、この答案には、「どんな要素が足りなかったのか」「どういう対策をしていれば目標点に届いたのか」を詳しく見ていきましょう。

目標点とのギャップをどう埋める？

図が主体の答案であり、説明不足と思う人も多いかもしれませんが、(1)や(2)の図をみるだけで、「十分離れている」ことが正しく理解できていると伝わってきます。他の大問構成を考えると、本問は論証重視ではなく、発想重視の問題であることが伺えるので、少なくとも(1)では、この答案の説明で充分と思われます。また、(2)は場合分けに気づいており、図も正しくかけているので、時間切れになったのではないかと推測しています。
もっと早く本問が比較的得点しやすい問題であることが見抜ければ、取り組む順番を変更することによって、おそらく満点近く得点できたのではないでしょうか。

受験生全体の解答傾向は？

不合格者では、白紙やそれに近いものもありますが、(1)はできていて(2)以降が白紙の答案が多いです。そして、そのような答案では、「図がなく、数式だけで処理」しようとしているものが目立ちました。(2)において手が止まってしまう大きな原因は、複雑な状況を把握しきれていないことです。図はこれを解決する手段の一つですので、積極的に活用してもらいたいです。
もちろん、図が万能であり、いつでも図をかけばよい、というわけではありません。数学では、図と数式をうまく組み合わせることが大切となります。互いの苦手なところを補完し合うように、適材適所で図と数式を使い分ける、このような思考を意識しながら演習していくとよいでしょう。