差がつく一問(2019)_第1弾（東大理系数学）

解くべき問題を見極め、確実に得点を。

2019年度の東大理系数学は、定積分の計算という珍しい出題が目を引きますが、それ以外にも様々な分野から出題されています。難易度も易しいものから難しいものまで幅が広いので、解ける問題を見極め、確実に得点することが合格への近道です。

まずは、2019年度の「東大理系数学」を俯瞰しよう

はじめに、問題構成や出題傾向をおさえて、

「自分が受ける入試問題」を想像しましょう。

第１問　【難易度：やや易】
●出題形式・テーマ
積分法

●問題の内容・分析
定積分の計算問題。被積分関数を展開して計算するのが簡明だろう。変数変換の方法に関する知識や、速く正確に計算する力が試される。

第２問　【難易度：やや易】
●出題形式・テーマ
微分法

●問題の内容・分析
辺の比の値の最大値、最小値を求める問題。面積に関する条件を立式し、文字を減らした上で辺の比を表せばよい。定義域が存在することに注意が必要。

第３問　【難易度：やや難】
●出題形式・テーマ
空間図形

●問題の内容・分析
空間座標内の八面体の切り口に関する問題。断面図を把握する空間認識能力が試される。⑶は平面αと辺PB、PCの交点の座標を求めるのがポイント。

第４問　【難易度：標準】
●出題形式・テーマ
整数

●問題の内容・分析
nで表された2つの数の積が平方数にならないことを証明する問題。⑴はユークリッドの互除法を用いるのがよい。⑵は⑴が誘導になっている。nの偶奇で分けて、背理法を用いるとよい。

第５問　【難易度：やや難】
●出題形式・テーマ
微分法　数列の極限

●問題の内容・分析
方程式x^2n－1＝cosxの実数解に関する極限値を求める問題。⑴⑵はグラフを考えれば状況を把握できるだろう。⑶のcは平均値の定理や微分係数の定義を用いることになる。

第６問　【難易度：やや難】
●出題形式・テーマ
複素数平面

●問題の内容・分析
4次方程式の解である複素数に関する問題。実数係数の方程式の解であることから、ある虚数解に対して共役複素数も解になることに着目するとよい。条件3を用いると、虚数解の形が決定される。

※ 難易度は東大受験生を母集団とする基準で判定しています。

合否の分かれ目は？

●受験者の答案を見てみると…

上の表は、再現答案をＺ会で分析した採点基準に照らし合わせて採点した結果です。合格者と不合格者で差が大きかった問題は、第１問、第２問、第５問が挙げられます。第1問は単純な計算問題ですが、この問題ができている人は他の問題でも高得点を取れている傾向が見られ、入試問題として十分機能していたようです。第２問も典型的な問題で、手をつけられなかったという人はほとんどいなかったのですが、最後まで正しく論理展開できたかどうかで差がつきました。第５問は(3)が難しく合格者でも得点できていなかったのですが、簡単な(1)と(2)に手をつけているかどうかで大きく差がつきました。

⇩

差がつく一問は、

≪第２問≫

●どんな問題？

問題を見る

●注目のポイントは？

アンケートや答案をみてみると、その場では「答えを求めることができたからあっている」と思っている人が多いようです。ところが、実際には必要な条件を見落としていたり、考察が漏れていたりして、減点されているということがよくあります。今回のセットでは第２問でその傾向が顕著でした。難しい問題を解けるようになることはもちろん大事ですが、論理的な整合性が担保された答案を作成することの方が大事ですので、今回は第２問を取り上げます。