2024年度「東大理系数学」徹底分析傾向と対策

Ｚ会の大学受験担当者が、2024年度前期試験を徹底分析。長年の入試分析から得られた知見もふまえて、今年の傾向と来年に向けた対策を解説します。

Ｚ会数学担当者からのメッセージ

東大理系数学では、パターンを覚えているだけでは解くことができない、思考力を要求される問題が出題される。このような問題を本番で解けるようにするためには、日頃から自分で考える必要のある良質な問題に取り組むことが大切。Ｚ会の本科「東大講座」の問題は、この演習にうってつけである。

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今年度の入試を概観しよう

分量と難度の変化

難易度は2023年度からやや易化
分量は2023年度並み

2024年度入試の特記事項

例年、文系との共通問題や類題が１問程度出題されるが、2024年度はそのような問題は見られなかった。
確率や整数といった東大で頻出の分野からの出題もあり、適度に難易度差もついた東大らしいセットであった。

合否の分かれ目はここだ！

大問の難易度には適度に差があるのが通例。また、難しい大問では、手のつけやすい(1)が設けられていることが多いが、年度や問題によっては、前半の小問が考えにくいこともあるので、大問や小問の順番に関係なく、易しい問題を見きわめて得点を重ねることが重要である。2024年度では、第１問、第２問(1)(2)、第３問(1)、第４問(1)、第６問(1)を確保した上で、残りの問題で得意分野を中心に得点を重ね、全体で5割以上を確保したい。数学を得点源にしたい受験生であれば、6割以上が目標となるだろう。

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大問別のポイント

　第１問　　

条件をみたす点の存在範囲を求める問題。角に関する条件を、ベクトルの内積に関する条件に読み替えれば、数式のみによる処理にもち込むことができる。処理量もほどほどであることから、本セットでは得点しやすいだろう。

　第２問　　

定積分で表された関数の最大値・最小値を求める問題。誘導の意図を的確に捉えられるかがカギとなる。
(1)、(2)では、微分や積分、三角関数の基本的な処理力が問われた。(3)では、(1)、(2)を踏まえて新たな変数を導入することにより、関数f(x)の増減を調べることができる。そのあとの最大値・最小値の計算は少し手間がかかるが、(1)、(2)で用いたαをうまく利用すれば処理量を減らすことができる。

　第３問　

座標平面上の動点Pに関する確率の問題。(1)の「Pがとりうる点」のうち、n秒後にPが最初の点に戻る確率を求めるのが最終目標である。規則に従って具体的に点を動かす（実験）などして、Pの推移に関する仕組みを探り、処理が可能な問題へと読み替えていく、いかにも東大らしい確率の問題であった。

　第４問　

放物線と円が接線を共有する条件が与えられ、最終的に、円がある点を通るような接点（のx座標t）の個数を求める問題。tの個数については、グラフの共有点の個数に読み替えればよい。考え方に難しいところはないので、計算ミスに注意して処理したい。

　第5問　

座標空間内の三角形の回転体の体積を求める問題。回転軸に垂直な平面で三角形を切った切り口（線分）を捉え、その線分を回転させてできる円（環）を考えればよい。処理量は少なくないが、東大の空間図形（体積）の問題としては素直で取り組みやすく、この分野を対策してきた受験生にとっては易しく感じられただろう。

　第6問　

整数係数の3次多項式について、xに整数nを代入した値が素数となるようなnの個数に関する証明問題。(1)で係数が具体的な場合を考え、(2)で一般化する（nが3個以下であることを示す）流れである。
(2)において、g(n)が素数となる場合はいくつかに分けられるが、そこから何をすべきかを見きわめるところが難しいだろう。(1)の結果や、nの個数について「影響が大きそうなところ」に着目できると、どこから手をつけるべきかが見えてくるはず。

攻略のためのアドバイス

東大理系数学を攻略するには、次の３つの要素を満たす必要がある。

●要求１● 高度な思考力

特別な知識は要求しないが、高いレベルの思考力、発想力を試す問題が多く出題される。他の大学では、一目で典型問題だとわかる出題が多いが、東大では出題の仕方がかなり工夫され、すぐには問題の解法が浮かびにくいものが多い。初見の問題に色々な面からアプローチして、解法を決める力が求められる。確率、整数の問題で主にこの力が問われる。

●要求２● 速く正確な処理力

例年、処理量の多い問題が出題され、比較的処理量の少ないものでも、1問あたり20～30分くらいかかるものもある。とくに微積分の問題で、ハードな計算を要求するものが多い。また、やや高度な出題も見られるが、処理力重視の問題は、方針が立てやすい。数式処理力の差は直接得点差につながりやすいので、速く正確に処理できる力を充実させておきたい。

●要求３●解ける問題を見きわめる力

例年、5割程度取れれば合格ラインといえる量とレベルであることが多い。そのため、全問を解く必要はなく、解く問題の選択が合否を分けるといえるだろう。過去問演習などで完答できる問題を見きわめる力を養いたい。それ以外の大問でも、解ける小問はもちろん解くべきである。

対策の進め方

まずは、苦手分野があれば、遅くとも受験生の夏休みまでには克服したい。ただし、基本的なことばかりやっていては、高度な思考力が要求される東大入試には太刀打ちできなくなる。
受験生の秋以降は実戦的な演習を行い、得点力アップを図ろう。また、答案を作成する力の養成も意識したい。
共通テストが終わったあとは、東大入試に即応したＺ会の問題で、最後の総仕上げをしよう。解答を作成する時間や、採点者にきちんと内容の伝わる答案作りを意識し、実戦力を完成させよう。
Ｚ会の講座では、上記の各段階に応じて、東大対策を無理なくこなせる設計になっている。Ｚ会の講座を活用して、ライバルに差をつけよう！